编、审书者为何犯最不应犯的概念性错误（压缩版）？

——对应变数与对应关系是两个根本不同的概念

黄小宁

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函数是数学中最重要的概念之一。

在所研究的集合是数集的情况下“x的函数”就是x的对应变数。y =f(x)是按照变化（对应）法则 f变化的变数。变化（对应）法则f与按照f取数变化的变数y不能混为一谈。“函数关系”就是变数y =f(x)与变数x之间的互为对应关系：x←→y=f(x)。函数与函数关系是两个根本不同的概念。“变数的变化法则”与“变数”本身有极显著的质的区别。例如函数有变域，而函数关系与函数的变化（对应）法则就不存在变域。

“数集D的各元x都须与100x对应”这一对应法则不是函数，变数100x才是函数。x的对应变数y =f(x)是函数，而其中的对应法则f不是函数。

然而令人震惊的是竟有不少书本出现最不应该出现的概念性错误。例如：“函数是从自变量的输入值产生出输出值的一种法则或过程。”（COMAP著，申大维等译《数学的原理与实践》，高等教育出版社、德国施普林格出版社，1998.8。）

又例如：“…，那么这个关系f就叫做从x到R的函数关系，简称为函数，”（姚孟臣《大学文科基础数学(第一册)》31页，北京大学出版社，1990.3。）

有数学家说:概念搞错了,头脑会变成一团浆糊。

“函数的近代定义：设A，B都是非空数集，f：A→B是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作 y=f(x)。”显然将对应变数与对应关系、对应法则混为一谈了。这会在初学者中造成极大的思想混乱。

“函数的三要素：定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.” 如函数的定义域非函数本身一样， 函数的对应法则f是函数的三要素之一，而非函数本身！

学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。

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