两无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元素x成双配对，显然就表明A比B多包含了一个元素，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”，就表明A比B多出无穷多个元素。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元素。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。两集不对等就更谈不上相等。
奇数集A：1，3，5，...，2n-1，...
B：2，4，6，…，2n，…
数学内的正自然数集N=A∪B是由A(或B)增添B（或A）而得的A（或B)的真扩集。
百年集论断定无穷数集A或B的各元都可与N的所有元2n-1、2n（N内有奇数２n－１和偶数２n）一一对应成双配对。其实这是重大的百年之误！
上面3个数列一目了然地显示横线下的B各元2n都有2个对应数2n、2n-1∈N且所有对应数组成的集是N，所以显然N的元素2倍于B的元素。
形成鲜明对比的是A的元素与B的元素就一样多。
P＝｛0，1，2｝与Q=P∪｛3｝的一部分P对等，就不可与Q对等了。同样，原B各元与N的一部分B各元一一配对了，哪还来多余的数与N另一部分A各元相配对？显然A有多少（个）元素，N就比B多多少（个）元素。故凡～B的集都不可～N。
关键是N的任何一部分E的各数均有与己相同的对应数∈E，若E内有数再与N的另一部分的数相对应，那就是重复对应了。
B的各元2n=y均有对应数n与其成双配对；所有对应数n组成的D～B，而不可～N，从而更谈不上有D=N。可见无穷集D={1，2，3，…，n，…}～B与B一样是N的真子集！关键是D的各元n全都有“对象”２n∈N的一部分B了，从而全都不能与N的另一部分A的各元2n-1“搞对象”。否则就是“搞重婚”。即D的n不可既与2n∈B相对应而又同时与2n-1∈A相对应。否则就不是“一对一”而是“一对二”的对应了。
所以中学数学断定D=N，是使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
自然数公理断定：数学内的所有正自然数组成的N的各元素n均有同属N的对应数2n>n即：N的任何元n<2n∈N。其实这是使康脱误入歧途的重大病句！
数学常识：“集D的任何数x”中的x可取D的任何（所有）数，即D的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表D的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>D的任何正数。
“无穷集D=（1，2）的任何元x<1.1x=y”明确表达有D外数y>D的任何（所有）元x（式中x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比D的所有x都大）；同样，“D的任何元x<1.1x=y∈D”明确表达D内有数y>D的所有元x——病句！同样，“N的任何元n<y=2n∈N”是一目了然的重大病句：N中有数y>N的任何（所有）元n——百年“ N的各元n可与N的真子集B的各元2n一一配对”就是建立在此病句之上的病上加病的病态理论。
关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。
“任意一个”是全称量词，对任意一个自然数n都有n<y=2n就是对所有自然数n都有…。说对于无穷集N的一切数n都有对应数y=n+1比n大，不就是说有数y>N内一切数n吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。
在N内取值的y =2n > n = 1，2，3，…
中的自变量n能遍取N的一切数吗？此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以式中数列不可包含N的一切数！即y=2n 的定义域≠N！即并非N的任何数都能由2n∈N 中的n代表。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
详论见获中国教育学会一等奖的文献［1］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参 考 文 献
[１]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007年第36期:31.
[2]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[3]黄小宁，y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——
近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。
电联:020-88506843(下午)初稿完成于2008.2.26。修订于2008.3.1。
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
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