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浅谈数学思想和方法在初中数学新课程教学中的渗透

数计学院    学号：JS05060    姓名：陈晶磊

数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的知道思想。数学方法是指在数学地提出问题，解决问题（包括）数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。常见的数学思想方法有四大类：化归方法，抽象方法，数学推理与证明方法，公理化方法与结构方法。这些思想方法在初中教材中都有非常广泛的应用。作为教师，要提高学生的数学素质、指导学生学习数学方法，毋用置疑，必须指导学生紧紧抓住掌握数学思想方法是这一数学链条中的最重要的一环。许多数学家和教育家历来强调对中学生的数学思想教育，其目的就是要提高学生的数学思维能力和数学素养。

九年义务教育全日制初级中学数学《新课程标准》中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。新课程把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在数学《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。

下面就我在教学中的实践，谈谈我是如何在教学中渗透数学思想方法的。

1．在知识发生过程中渗透数学思想方法

（ 1）不简单下定义。数学概念既是数学思维的基础，又是数学思维的结果。所以概念教学不应简单给出定义，应当引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的数学思想。比如负数概念的教学，是初中教学的重点也是一个难点,而教材借助于温度计给出描述性定义，学生对负数概念往往难以透彻理解。若设计一个揭示概念与新问题间矛盾的实例，使学生感到“负数”产生的合理性和必要性，领悟其中的数学符号化思想的价值，则无疑有益于激发学生探究概念的兴趣，从而更深刻、全面的理解概念。我在演示温度计时提出这样一个问题：今年冬季某天北京白天的最高气温是零上10℃，夜晚的最低气温是零下5℃，问这一天的最高气温比最低气温高多少度。首先,学生利用直观观察甚至是数格子得出答案是15°,大部分学生也知道求差用减法，但是，在具体列式时遇到了困惑：是“10°-5°”吗？不对！“是零上10°-零下5°”吗？似乎对，但又无法进行运算。于是，一个关于“负数”及其表示的思考由此而展开了。再通过现实生活中大量表示相反意义的量，抽象概括出相反意义的量可用数学符号“+”与“-”来表示，从而解决了实际生活和数学中的一系列运算问题，教学也达到了知识与思想协调发展的目的。

（ 2）在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法。著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法学习，其重要性决不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。而判断则可视为压缩了知识链。教学中要恰当地拉长这一知识链，引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系，探讨它与其他知识的关系，领悟引导思维活动的数学思想。因此，定理公式教学中不要过早给结论。例如在完全平方公式教学中，根据学生直觉思维的特点，在教学中我有层次性地提出问题引导学生思考：（1）计算2²+3²，（2+3）²，它们在题目和结论上有什么区别？（2）计算2²-3²，（2-3）²，它们在题目和结论上有什么区别？（3）判断（a+b）²=a²+b²，（a-b）² =a²-b²正确吗？如果不正确，正确结果是什么？（4）你能得出（a+b）²和（a-b）²的公式解吗？它们两个有什么区别？易见，由于以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法，因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想方法应用上的教育和示范功能。其中渗透了数形结合的方法、转化的思想，分类思想，归纳、抽象概括思想，特殊与一般思想等等。 使学生在很好得掌握知识的同时也掌握了相应的数学思想方法。

2．在思维教学活动过程中，揭示数学思想方法

数学课堂教学必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，揭示其中的数学思想方法，才能有效地发展学生的数学思想，提高学生的数学素养，下面以“多边形内角和定理”的课堂教学为例，简要说明。
    教学目标：增强运用化归思想处理多边形问题的一般策略；掌握运用类比、归纳、猜想思想指导思维，发现多边形内角和定理的结论；学会用化归思想指导探索论证途径，掌握化归方法；加强数形结合思想的应用意识。
    教学过程：（ 1）创设问题情境，激发探索欲望，蕴涵类比化归思想。
教师：三角形和四边形的内角和分别为多少？四边形内角和是如何探求的？（转化为三角形）那么，五边形内角和你会探索求吗？六边形、七边形…… n 边形内角和又是多少呢？
  （ 2 ）鼓励大胆猜想，指导发现方法，渗透类比、归纳、猜想思想。
教师：从四边形内角和的探求方法，能给你什么启发呢？（转化为三角形内角和）五边形内角和能否转化为三角形求解？数目是多少？六边形…… n 边形呢？你能否用列表的方式给出多边形内角和与它们边数、分割的三角形的个数之间的关系？从中你能发现什么规律？猜一猜 n 边形内角和有何结论？类比、归纳、猜想的含义和作用，你能理解和认识吗？
  （ 3 ）暴露思维过程、探索论证方法，揭示化归思想、分类方法、教师。我们如何验证或推断上面猜想的结论呢？既然多边形内角和可化归为三角形来处理，那么化归方法是否唯一的呢？三角形顶点与多边形的位置关系怎样？（分类思想指导化归方法的探索）哪一种对获取证明最简洁？（至此，教材中“在多边形内任取一点 O ……的思维过程得以充分自然地暴露）
  （ 4 ）反思探索过程，优化思维方法，激活化归思想。教师：从上面的探索过程中，我们发现化归思想有很大作用，但是，又是什么启发我们用这种思想指导解决问题呢？原来，我们是选择考察几个具体的多边形，如四边形、五边形等，发现特殊情形下的解决方法，再把它运用到一种特殊化思想，它对提供解题方法有重要作用。我们再来考察一下式子： n 边形内角和 =n×180 ° -360 °，你能设计一个几何图形来解释吗？对于 n 边形内角和 = （ n-1 ） 180 ° -180 ° , 又能作怎样的几何解释呢？
    让学生亲自参加与探索定理的结论及证明过程，大大激发了学生的求知兴趣，同时，他们也体验到“创造发明”的愉悦，数学思想在这一过程中得到了有效的发展。

3 ．在问题解决方法的探索过程中激活数学思想方法

我认为，数学知识可以用言传口授的方法传递给学生，而数学思想则显然不能，课堂教学中给学生的至多是关于数学思想方面的知识，不妨称为知识形态的数学思想，这种知识形态的数学思想需要经历学生个体独立的思维活动才能发展为认知形态的数学思想。换言之，数学教学在使学生初步领悟了某些最高思想的基础上，还要积极引导学生参与数学问题的解决过程，通过主体主动的数学活动激活知识形态的数学思想，数学思想也只有在需要该种思想的数学活动中才能形成。
    新课程强调学习有价值的数学，越来越强调数学的应用能力。因此教材中与生活紧密联系的例子也越来越多。这就要求教师要在教学中渗透数学建模的思想。使学生理解并掌握“数学翻译”。例如，函数的应用中的一题，现移动公司有甲乙两家套餐，甲套餐每月通话（不区分通话地点）的收费标准如图所示，乙套餐每月收费如下表所示的几项收费的总和。

月租费	本市接听费	本市拨打费	外市通话费
50元	0元/月	0.10元/月	0.90元/月

   

400

500

y(元)

30

70

t(min)

                            
(1)a.观察图形，写出甲套餐用户，月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额。
b.求出甲套餐的用户通话400分钟后，每分钟的通话费；
(2)王先生由于工作需要，从4月份起经常去外市出差，估计每月各种通话费的比例是本市接听时间：本市拨打时间：外市通话时间=2：1：1。你认为王先生的每月通话时间不少于多少分钟时，用乙套餐合算？请说明理由。对于第(1)题,可以引导学生“看图说话”，根据图象特征得到当t≤400分钟时应付30元，当t>400分钟时，40元/100分钟，因此每分钟0.4元。从中渗透数形结合的思想方法。对于第（2）题，指导学生挖掘题目的内在条件，利用比例和问题可设王先生通话时间为4t分钟，将其转化为函数来解决，设甲、乙两套餐的通话费用分别为y1,y2元，则有甲套餐中通话时间和费用的函数关系式为y1=1.6t-130(4t>400);乙套餐中通话时间和费用的函数关系式为y2=50+t，要使乙套餐通话费更合算，则y1>y2即1.6t-130>50+t，t>300,4t>1200从而得出本题的解。其中渗透了函数的思想和数学建模的思想。
      当然，仅此一节课或一个问题还不足以说明学生真正具备了带有个性特征的、生动活泼的数学思想，但只要一节课一节课地坚持，一个问题一个问题地积累，学生的数学思想就会产生质的飞跃。

4 ．在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法

数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数学知识体系中，因此，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想方法要纳入教学计划，应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，可以加紧学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析、解决问题的能力。概括数学思想一般可分两步进行：一是揭示数学思想的内容、规律，即将数学对象共同具有属性或关系抽取出来；二是明确数学思想方法与知识的联系，即将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去，从而实现从个别性认识上升为一般性认识。例如：通过解方程（ x-2 ）² +(x-2)-2=0 ，发现都可用换元法来求解。在此基础上推广也可用换元法求解。由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程，从而认识到化归思想是对换元法的高度概括，还可进一步认识到数学思想是数学的灵魂，它是对数学知识的高度概括。由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，所以通过课堂小结、单元总结或总复习，甚至是某个概念、定理公式、问题数学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。

     以上是我在教学实践中得到的一些体会，我认为教学中若只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛。因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体。只要我们执教者课前精心设计，课上精心组织，充分发挥学生的主体作用，多创设情景，多提供机会，坚持不懈，就能达到我们的教学育人目标。